PEMBUKTIAN ALJABAR DASAR DARI BILANGAN REAL

PEMBUKTIAN ALJABAR DASAR DARI BILANGAN REAL

 (Proofs Of Basic Algebraic Of The Real Number)

 

Achmad Dhany Fachrudin~

Abstrac Algebra atau aljabar abstrak merupakan salah satu mata kuliah yang harus saya tempuh selama mengikuti perkuliahan S2 pendidikan matematika Universitas Sriwjaya, walaupun mata kuliah ini sebenarnya sudah pernah saya dapatkan dulu waktu S1. Tetapi aljabar abstrak yang saya dapat kali ini sepertinya cukup berbada dari absatrak sebelumnya. Pak Dharma atau teman-teman sering menyebutnya pak Darmo adalah dosen pengajar untuk mata kuliah ini. Beliau sangat sibuk, karena juga menjabat sebagai dekan di salah satu fakultas unsri (saya lupa nama fakultasnya, hehe) sehingga kami pun juga jarang dapat kuliah alias kuliah mandiri. Literatur atau buku yang kami gunakan adalah karangan Randall B. Maddox yang berjudul Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics. Bagi yang ingin mendapatkan file ebook buku tersebut silahkan klik download di bawah ini.

Kali ini saya akan menuliskan beberapa pembuktian dasar pada aljabar dan urutan (ordering) –akan saya bahas pada tulisan yang lain- pada bilangan Real yang terdapat pada buku Maddox pada bab Beginner level proof. Sebelum itu, berikut adalah properties atau sifat-sifat dari bilangan Real yang perlu kita ketahui.

(A1) Properties of equality:

(a)   For everyaR, a=a (Reflexive property);

(b)   Ifa=b, then b=a (Symmetric property);

(c)    Ifa=b and b=c, then a=c (Transitive property).

(A2) Addition is well defined: That is, if a,b,c,dR,where a=b and c=d, then a+c=b+d.

(A3) Closure property of addition: For every a,bR, a+bR.

(A4) Associative property of addition: For every a,b,cR, (a+b)+c=a+(b+c)

(A5) Commutative property of addition: For everya,bR, a+b=b+a.

(A6) Existence of an additive identity: There exists an element 0R with the property that a+0=a for everyaR.

(A7) Existence of additive inverses: For everyaR, there exists somebRsuch

That a+b=0. Such an element bis called anadditive inverseofa, and is typically

Denoted −a to show its relationship to a.We do not assume that only one such b

exists.

(A8) Multiplication is well defined: That is, ifa,b,c,dR,wherea =band c=d, thenac=bd.

(A9) Closure property of multiplication: For all a,bR,a·bR. The closure property of multiplication also holds forN,W,Z, andQ.

(A10) Associative property of multiplication: For everya,b,cR, (a·b)·c= a·(b·c)or(ab)c=a(bc).

(A11) Commutative property of multiplication: For everya,bR,ab=ba.

(A12) Existence of a multiplicative identity: There exists an element 1R with the property that a·1=a for everyaR.

(A13) Existence of multiplicative inverses: For everyaRexcepta=0, there exists some bR such that ab=1. Such an element b is called a multiplicative inverse of a and is typically denoted a-1 to show its relationship to a. As with additive inverses, we do not assume that only one such b exists. Furthermore, the assumption that a-1 exists for all a≠0 does not assume that zero doesnothave a multiplicativeinverse. It says nothing about zero at all.

(A14) Distributive property of multiplication over addition: For every a,b, cR,a(b+c)=(ab)+(ac)=ab+ac,where the multiplication is assumed to be done before addition in the absence of parentheses.

Setalah mengetahui sifat-sifat di atas, sekarang saya akan membahas pembuktian beberapa teorema yang terdapat pada sub bab ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan Real di atas. Tetapi pada langkah-pembuktian di bawah, saya tidak akan membahas terlalu mendetail tentang sifat atau teorema yang saya gunakan dalam ppembuktian tersebut.

Theorem 2.3.1 (Cancellation of addition). For all a,b,cR, if a+c=b+c, then a=b.

Bukti:  a+c = b+c

a+c+ (-c) = b+c(-c)

a+0=b+0

a=b (terbukti)

Theorem 2.3.2. For every aR ,a·0=0

Bukti: a.0= a.(0+0)

a.0=a.0+a.0

0+a.0=a.0+a.0 (kita gunakan teorema 2.3.1)

0=a.0 (terbukti)

Theorem 2.3.3. The additive inverse of a real number is unique.

Bukti: andaikan suatu invers penjumlahan tidak tunggal.

Ambil a∈R, bararti terdapat b dan c (merupakan invers jumlah dari a) sedemikian hingga a+b=0 dan a+c=0,

Berdasarkan (A1a) kita dapatkan a+b=a+c, (kita gunakan teorema 2.3.1) maka b=c (terbukti).

Theorem 2.3.4. For everyaR, −(−a)=a.

Bukti: ambil (–a)∈R, berarti terdapat –(-a), sedemikian hingga (-a)+ (-(-a))=0

(-a)+ (-(-a)) = (-a) + a

a+(-a)+ (-(-a)) = a+(-a) + a

0+(-(-a)) = 0 +a

(-(-a)) = a (terbukti)

Untuk selanjutnya saya akan membahas exercise atau latihan soal yang terdapat pada halaman selanjutnya.

Theorem 2.3.6: If a,bR, then:

1. (−a)b=−(ab).

2. (−a)(−b)=ab.

1.  Bukti: (-a)b= (-a)b + 0

= (-a)b + ab + (-(ab))

= b(a +(-a)) + (-(ab))

=b.0 + (-(ab))

(-a)b= -(ab) (terbukti)

2.  Bukti: (-a)(-b)= ab

= -(a(-b)) (berdasar teorema 2.3.6 a)

= -((-b)a)

= -(-b) a (teorema 2.3.4)

= ba = ab (terbukti)

2.  Prove Theorem 2.3.9: If ac=bc and c=0, then a=b.

Bukti:  ac=bc

acc-1=bc c-1

a=c ( terbukti)

3. Prove Theorem 2.3.10: The multiplicative inverse of a ≠0 is unique (tunggal).

Bukti: ambil sebarang a ∈R, a ≠0, andaikan invers bilangan real tidak tunggal, maka akan terdapat b dan c, b≠c, sedemikian hingga ab=1 dan ac= 1,

Maka kita peroleh ab=ac (sifat transitif)

b=c (cancellation)

maka pengandaian salah, jadi invers perkalian pada setiap a ∈R, a ≠0, adalah tunggal. (terbukti)

4. Using reasoning similar to the argument for Theorem 2.3.4, prove Theorem 2.3.11: For all a≠0,(a-1)-1=a.

Bukti: ambil a-1∈R, berarti terdapat (a-1)-1

sedemikian hingga a-1.(a-1)-1=1

a.a-1.(a-1)-1=a.1

1.(a-1)-1=a

(a-1)-1=a  (terbukti)

5. Prove Theorem 2.3.12: For all nonzero a,bR,(ab)-1=a-1b-1

Bukti: ,(ab)-1=(ab)-1.1.1

(ab)-1= (ab)-1. a.a-1 b.b-1

(ab)-1= (ab)-1. a.b.a-1.b-1

                (ab)-1=(ab)-1. (ab) a-1.b-1

(ab)-1= 1.a-1.b-1

(ab)-1= a-1 .b-1 (terbukti)

6. Prove the principle of zero products: If ab=0, then either a=0 or b=0.

Bukti: ambil a∈R, a ≠0, a.b=0

a-1 .a.b=a-10

1.b=0

b=0 (terbukti)

7. Prove (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd, for all a,b,c,dR.

Bukti: ambil a,b,c,d∈R.

a(c+d)=ac+ad ..(1)

b(c+d)=bc+bd…(2)

dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) kita dapat

a(c+d)+ b(c+d)= ac+ad+ bc+bd

(a+b) (c+d)= ac+ad+ bc+bd (distributif) (terbukti)

8. Suppose we replace assumption A15 with the assumption that 1=0. Show that, with this assumption, there are no nonzero real numbers

Bukti: ambil sebarang a∈R, a= a.1

a = a.0

a=0,

karena kita mengambil sebarang a, maka berlaku untuk semua bilangan Real, sehingga semua bilangan Real adalah nol.(terbukti)

semoga bermanfaat🙂

atau unduh file PDF disini

untuk pembuktian ordering of real number dan absolute value atau nilai mutlak klik link di bawah ini

Download pembuktian ordering of real number dan absolute value (harga mutlak)

Categories: Abstrac Algebra, Articles | Tags: , , , , , , , , , , , , , , | 1 Comment

Post navigation

One thought on “PEMBUKTIAN ALJABAR DASAR DARI BILANGAN REAL

  1. ila

    Mksh… sngt brmnfaat

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: