Mathematics

PEMBUKTIAN 3+3=6

sebelum melakukan pembuktian bahwa 3+3=6,  tentunya kita harus memahami terlebih dahulu aksioma yang berlaku pada bilangan asli (natural number) dan aksioma peano (peano axioms). berikut adalah aksioma tersebut:

Axiom 1. For every x N, x = x.

Axiom 2. For every x, y N, if x = y, then y = x.

Axiom 3. For every x, y, z N, if x = y and y = z, then x = z.

Axiom 4. For all x and y, if x N and x = y, then y N

Peano axioms

Axiom 5. 0 is a natural number. That is, 0 N.

Axiom 6. If x N, then S(x) N. That is, if x is a natural number, then so
its successor.

Axiom 7. For every natural number x N, S(x) = 0 is false.

Axiom 8. For all x, y N, if S(x) = S(y), then x = y.

Axiom 9. If V is an inductive set, then N V .

 

suksesor pada natural number dapat dinyatakan dalam

S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3, S(3) = 4 dan seterusnya.

DEFINISI PENJUMLAHAN “…+…”

  • a + 0 = a.
  • a + S(b) = S(a + b)

berdasarkan definisi di atas dapat kita tuliskan Continue reading

Categories: Abstrac Algebra, Home, Mathematics, Problem Solving, Tak Berkategori | Tags: , , , , , | Leave a comment

Sejarah Matematika (History Of Mathematics) untuk Mendukung Pembelajaran

Radford (1996) menyatakan bahwa konstruksi konsep-konsep matematika berdasarkan sejarah dapat membantu memberikan pengetahuan tentang bagaimana pemikiran siswa dalam membangun pengetahuan mereka tentang matematika.  Beberepa peneliti juga meyarankan tentang penggunaan sejarah dalam pembelajaran metematika (Fauvel & Van Maanen, 2000; Radford, 2000; Katz, 2000). Hal tersebut dikarenakan kesulitan pemikiran orang terdahulu saat menemukan atau mempelajari suatu konsep mungkin serupa dengan yang dihadapi oleh siswa pada saat ini, walaupun mungkin sudah menganal beberapa hal yang mungkin tidak dikenal oleh orang terdahulu. Tentunya seiring dengan banyaknya penemuan-penemuan dalam bidang matematika yang memudahkan dalam perkembangan ilmu lain atau matematika itu sendiri (misalnya aljabar dan lain-lain). Peranan sejarah maatematika dalam pembelajaran tidak hanya dapat  menumbuhkan motivasi, akan tetapi dapat memberi kesempatan kepada siswa untuk memperluas pengetahuan dalam mencari koneksi apa yang sedang dipelajarinya terhadap lingkungan  sekitarnya.

Banyak manfaat yang dapat diambil dari penggunaan sejarah matematika dalam pembelajaran. Fauvel (dalam Sumardyono, 2012) menyatakan terdapat tiga dimensi besar pengaruh positif sejarah matematika dalam proses belajar siswa:

1.  Understanding (pemahaman)

Perspektif sejarah dan perspektif matematika (struktur modern) saling melengkapi untuk memberikan gambaran yang jelas dan menyeluruh, yaitu pemahaman yang rinci tentang konsep-konsep dan teorema-teorema dalam matematika, serta pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana konsep-konsep matematika saling berhubungan dan bertemu.

2.  Enthusiasm (antusiasme)

Sejarah matematika memberikan sisi aktivitas manusia dan tradisi/ kebudayaan manusia. Pada sisi ini, siswa merasa menjadi bagiannya sehingga menimbulkan antusiasme dan motivasi tersendiri.

3. Skills (keterampilan)

Yang dimaksud dengan skills di sini bukan hanya keterampilan matematis semata, tetapi keterampilan dalam hal: keterampilan research dalam menata informasi, keterampilan menafsirkan secara kritis berbagai anggapan dan hipotesis, keterampilan menulis secara koheren, keterampilan mempresentasikan kerja, dan keterampilan menempatkan dan menerima suatu konsep pada level yang berbeda-beda. Keterampilan-keterampilan di atas jarang diantisipasi dalam pembelajaran konvensional/tradisional. Continue reading

Categories: All PMRI, Articles, Courses, Home, Introduction to RME, Math Education, Mathematics, News | Leave a comment

PISA (Programme Internationale for Student Assesment)

PISA
PISA

 A.    GAMBARAN SINGKAT PISA

PISA merupakan singkatan dari Programme Internationale for Student Assesment yang merupakan suatu bentuk evaluasi kemampuan dan pengetahuan yang dirancang untuk  siswa usia 15 tahun (Shiel, 2007). PISA sendiri merupakan proyek dari Organization for Economic Co-operation and Development (OECD) yang pertama kali diselenggarakan pada tahun 2000 untuk bidang membaca, matematika dan sains. Ide utama dari PISA adalah hasil dari sistem pendidikan harus diukur dengan kompetensi yang dimiliki oleh siswa dan konsep utamanya adalah literasi (Neubrand, 2005).

PISA dilaksanakan setiap tiga tahun sekali, yaitu pada tahun 2000, 2003, 2006, 2009, dan seterusnya.  Sejak tahun 2000 Indonesia mulai sepenuhnya berpartisipasi pada PISA. Pada tahun 2000 sebanyak 41 negara berpartisipasi sebagai peserta sedangkan pada tahun 2003 menurun menjadi 40 negara dan pada tahun 2006 melonjak menjadi 57 negara. Jumlah negara yang berpartisipasi pada studi ini meningkat pada tahun 2009 yaitu sebanyak 65 negara. PISA terakhir diadakan pada tahun 2012, dan laporan mengenai hasil studi ini belum dirilis oleh pihak OECD.

Dalam melakukan studi ini, setiap negara harus mengikuti prosedur operasi standar yang telah ditetapkan, seperti pelaksanaan uji coba dan survei, penggunaan tes dan angket, penentuan populasi dan sampel, pengelolaan dan analisis data, dan pengendalian mutu. Desain dan implementasi studi berada dalam tanggung jawab konsorsium internasional yang beranggotakan the Australian Council for Educational Research (ACER), the Netherlands National Institute for Educational Measurement (Citogroep), the National Institute for Educational Policy Research in Japan (NIER), dan WESTAT United States.

 B.     LITERASI MATEMATIKA DAN TUJUANNYA

Salah satu tujuan dari pisa adalah untuk menilai pengetahuan matematika siswa dalam menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Itulah mengapa digunakan istilah literasi metematika karena dalam pisa matematika tidak hanya dipandang sebagai suatu disiplin ilmu pengetahuan, akan tetapi bagaimana siswa dapat mengplikasikan suatu pengetahuan dalam masalah dunia nyata (real world) atau kehidupan sehari-hari. Sehingga pengetahuan tersebut dapat dirasa lebih kebermanfaatan secara langsung oleh siswa.

Pada PISA matematika, dengan memiliki kemampuan literasi matematika maka akan dapat menyiapkan siswa dalam pergaulan di masyarakat modern (OECD, 2010). Meningkatnya permasalahan yang akan dihadapi oleh siswa dikehidupannya membutuhkan kepahaman akan matematika, penalaran matematika, peralatan matematika, dll sebelum mereka benar-benar menjalankan dan melewati permasalahan nyata itu.

Dari definisi matematika literasi di atas dapat dikatakan bahwa literasi matematika merupakan kapasitas masing-masing individu untuk memformulasikan, menggunakan dan menginterpretasikan matematika di banyak situasi konteks. Kepahaman individu meliputi membuat penalaran matematika dan menggunakan konsep, prosedur, fakta, dan alat untuk mendeskrepsikan, menjelaskan dan memprediksi sebuah kejadian. Hal itu membantu individu untuk memahami aturan yang menjadikan matematika sebagai acuan pada kenyataan dan untuk membuat pertimbangan serta keputusan yang dibutuhkan dengan mengkonstruksi, menggunakan dan merefleksikan diri sebagai warganegara.

Continue reading
Categories: All PMRI, Articles, Introduction to RME, Math Education, Mathematics, PISA (KLM) | Leave a comment

Pengembangan dan Uji Coba Soal Open Ended, Pisa dan TIMSS

Pengembangan soal soal yang dilakukan dibuat dengan mengikuti langkah-langkah pengembangan soal yang dibuat (pengembangan Akker) berikut ini akan dibahas hasil tahap persiapan (preliminary) dan tahap prototyping dengan alur formative evaluation.

A.    Tahap Persiapan (preliminary) Pada tahap persiapan ini peneliti menentukan tempat dan subjek penelitian. Tempat yang digunakan dalam penelitian ini adalah di Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Palembang. Di SMPN 1 Palembang tahap yang dilaksanakan adalah small group dan field test. Pada pengembangan ini tidak dilakukan expert review atau dari ahli. Sebagai gantinya review dilakukan hanya pada teman sejawat. Pada tahap persiapan peneliti juga mengkaji literatur tentang penelitian pengembangan, untuk penelitian ini peneliti menggunakan desain penelitian pengembangan Jan van den Akker yang menggambil dua tahap yaitu preliminary dan prototyping.  Tahap prototyping, peneliti menggunakan alur formative evaluation Tessmer. Sebelum melakukan penelitian peneliti juga menghubungi guru mata pelajaran di SMPN 1 Palembang dalam hal ini guru mata pelajarannya adalah ibu Appria, S.Pd. Pada ibu Aprria peneliti menanyakan prosedur dalam melakukan penelitian di sekolah tersebut. Peneliti juga mendesain draf prototype awal dari soal yang akan dikembangkan. Soal rencananya terdiri dari 6 pertanyaan dengan rincian 2 soal open ended, 2 soal PISA dan 2 soal TIMSS.

B.     Tahap prototyping Pada tahap kedua desain penelitian ini adalah prototyping dengan menggunakan alur formative evaluation. Tahap alur formative evaluation menggunakan 4 tahap yakni:    

1.  Self evaluation Pada tahap self evaluation peneliti menelaah, menganalisis dan merevisi draf prototipe awal yang telah didesain pada tahap preliminary atau persiapan.    

2.  Small Group Setelah melalui tahap self evaluation, prototipe soal siap diujikan kepada lima siswa subyek small group. Pada tanggal 8 Juni 2013 telah dilaksanakan uji small group kepada 5 siswa SMPN 1 Palembang. Prosedur yang dilakukan adalah siswa diberikan soal dan mengerjakan sekitar 60 menit untuk menjawab 6 soal yang ada. Setelah selesai mengerjakan soal, siswa diberi waktu untuk memberi komentar mengenai soal tersebut. Berikut dibahas beberapa jawaban dan komentar dari siswa. (dibawah ini adalah pengembangan soal Open Ended, PISA dan TIMMS dan laporan secara lengkap)

sebelumnya mohon maaf untuk kesalahan penulisan “TIMMS” yang seharusnya “TIMSS”

Semoga bermanfaat 🙂

Categories: All PMRI, Articles, Courses, Math Education, PISA (KLM), Problem Solving | Leave a comment

Rahasia Kesuksesan Pendidikan Matematika di Belanda

Mathematics is a human activity

[Hans Freudenthal]

Seorang yang berperan sebagai pemilik sebuah restoran sekaligus penjual, membuka lapak dagangannya di sebuah sudut kelas. Tidak lupa di depan restorannya terdapat sebuah papan sederhana berisikan menu yang disediakan oleh sang penjual beserta rincian harganya (dalam Gulden, mata uang Belanda). Sementara itu siswa yang lain dipersilahkan untuk memesan makanan.

harga makanan

Gambar 1. Daftar harga makanan restoran siswa

Guru menyediakan dompet yang berisi sejumlah koin pecahan 5 dan 1 gulden untuk digunakan siswa yang membeli makanan di restoran tersebut. Selanjutnya, seorang siswa datang untuk memesan sebuah pancake dan es krim. Sementara seorang siswa lain bertugas untuk menulis pesanan yang telah dipilih tersebut. Tugas yang diberikan oleh guru kepada masing-masing siswa adalah untuk memilih uang pada dompet yang telah disediakan tersebut yang dapat digunakan untuk membayar pesanan yang telah dipilih. Continue reading

Categories: Articles, Math Education, Mathematics | Leave a comment

Pendidikan Matematika yang “Menjanjikan” dari Negeri Tulip

“If you want something you’ve never had, you must be willing to do something you’ve never done”

[Thomas Jefferson]

Pendidikan matematika merupakan salah satu hal yang menarik untuk disimak pada ranah pendidikan di negeri ini. Bagaimana tidak, sebagai satu disiplin ilmu yang wajib diajarkan pada program wajib belajar 9 tahun, masih terlihat banyak sekali siswa yang mengalami kesulitan pada bidang ini. Hal ini ditunjukkan dengan buruknya peringkat Indonesia pada Programme for International Student Assesment (PISA), sebuah program penilaian berskala internasional yang bertujuan untuk mengetahui tentang sejauh mana siswa (usia 15 tahun) dapat menerapkan apa yang telah dipelajari di sekolah pada bidang matematika dan sains, yang hanya menempati peringkat 61 dari 65 negara yang ikut berpartisipasi di tahun 2009 (OCED, 2009).

Jika menilik lebih jauh tentang hasil pada PISA 2009, yang lebih mencengangkan lagi daripada melihat dari segi ranking, ternyata hampir 50% siswa di Indonesia ternyata tidak mampu mengerjakan soal yang paling dasar (level 1) dari PISA, yaitu apabila pertanyaan dari soal kontekstual diberikan secara eksplisit dan data yang dibutuhkan untuk menyelasaikan soal tersebut diberikan secara tepat. Hal tersebut tentunya sangat memprihatinkan dan memunculkan pertanyaan dibenak kita “Mengapa begitu rendah kemampuan siswa kita?” atau “Apa yang salah dengan cara pengajaran matematika di negeri kita?”

Cuplikan Persentase Kemampuan Siswa PISA 2009

Cuplikan Persentase Kemampuan Siswa PISA 2009 Continue reading

Categories: Articles, Mathematics | Leave a comment

Persamaan Diophantine dan Diophantus

MAU PESAN TAS SEMINAR MURAH? TAS PROMOSI? TAS DENGANfb_img_1481842464597
LOGO INSTANSI? klik Disini Tas Seminar

Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus, juga dikenal dengan julukan“bapak dari aljabar”, merupakan seorang matematikawan yunani yang bermukim di Iskandaria, pada waktu itu Alexandria adalah pusat pembelajaran Matematika.Diophantus hidup sekitar abad ke-3.

Sebenarnya masih terdapat banyak perdebatan mengenai pada tahun berapa dia hidup. Hal tersebut dikarenakan bencana yang melanda Barat dengan kejatuhan Roma, jugapada pembakaran Perpustakaan di Alexandria di 640 masehi mengakibatkan hampir semua rincian tentang kehidupan Diophantus ikut hilang karenanya. Tetapi, dapat dipastikan bahwa dia hidup antaratahun 150 dan 350masehi, karena ia menyebut Hypsicles (dikenalpada sekitar tahun150) dan disebutkan oleh Theon dari Alexandria (sekitar 350). Satu lain secarik bukti, Surat Michael Psellus (abad ke-11), menunjukkan 250 masehi adalah waktu paling mungkin kapan Diophantus hidup. Selain itu menurut Cohen dan Drabkin(dalam Stillwell, 2010:50), terdapat petunjuk tentang masa kehidupan Diophantus dalam sebuah teka-teki dalam anthology bahasa Yunani (sekitar 600c) yang berbunyi

God granted him to be a boy for the sixth part of his life, and adding a twelfth part to this, He clothed his cheeks with down. He lit him the light of wedlock after a seventh part, and five years after his marriage He granted him a son. Alas! lateborn wretched child; after attaining the measure of half his father’s life, chill Fate took him. After consoling his grief by this science of numbers for four years he ended his life.

“Seperenam kehidupan yang diberikan Tuhan kepadaku adalah masa muda. Setelah itu, seperduabelasnya, cambang dan berewokku mulai tumbuh. Ditambah masa hidupku untuk menikah, dan tahun kelima mempunyai anak. Sialnya, setengah waktu kehidupanku untuk mengurus anak. Empat tahun kugunakan bersedih. Berapa umur Diophantus?”

Berikut adalah penyelesaian dari permasalahan di atas. Misal umur Diophantus adalah x, sehingga  diperoleh x=1/6 x+1/12 x+ 1/7 x+5+1/2 x+4  . Dari pemecahan peroblem ini diketahui umur Diophantus adalah 84 tahun, sedang dia menikah pada umur 26 tahun, dan usia anaknya setengah dari usianya yaitu 42 tahun

Semasa hidup Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai DiophantineEquation (Persamaan Diophantine).

Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat.

Bentuk paling sederhananya diberikan oleh

ax + by = c… (1) Continue reading

Categories: Articles, Math Education, Math Fun, Mathematics | Tags: | 1 Comment

Iceberg dalam Pembelajaran Matematika dan Pendekatan PMRI

Oleh: Achmad Dhany Fachrudin

gunung es

Sumber gambar: Kompasiana.com

Menurut Wikipedia Indonesia, Iceberg atau gunung es adalah suatu bongkahan besar es air tawar yang telah terpecah dari gletser atau ice shelf dan mengambang di perairan terbuka. Umumnya, sekitar 90% volume gunung es berada di bawah permukaan laut, dan bentuk bagian tersebut sulit diperkirakan hanya berdasarkan apa yang tampak di permukaan. Hal ini memunculkan suatu istilah puncak gunung es (tip of the iceberg) yang biasanya diterapkan pada suatu masalah atau kesulitan untuk menggambarkan bahwa masalah yang tampak hanyalah sebagian kecil dari problem yang lebih besar yang tidak tampak pada permukaan.

Begitu pula dalam pembelajaran metematika, khususnya dalam pendekatan PMRI, kita juga mengenal istilah iceberg atau gunung es. Pada dasarnya, iceberg dalam pembelajaran matematika ini juga menggambarkan tentang masalah besar seperti fenomena yang terjadi seperti gunung es. Matematika yang diajarkan di sekolah kebanyakan adalah sebagian kecil masalah matematika yang nampak dipermukaan saja. Sedangkan permasalahan besar yang tidak tampak lebih cenderung dikesampingkan atau bahkan diabaikan. Sebagai contoh pada saat mengajarkan materi perkalian. Kabanyakan guru hanya meminta siswa untuk menghafal perkalian, bukan mengajak siswa untuk memahami esensi atau makna dari perkalian tersebut. Sehingga siswa hanya mempunyai kemampuan untuk menghafal kesepakatan-kesepakatan atau aturan yang ada dalam matematika (perkalian) saja, bukannya memahami konsep perkalian yang diajarkan. Dengan kata lain apabila digambarkan dengan iceberg, guru hanya mengajarkan pada siswa masalah puncak dalam pembelajaran perkalian tersebut, tidak mengajarkan masalah besar yang tidak nampak pada permukaan dari iceberg tersebut.

Pada pembelajaran dengan pendekatan PMRI, untuk mengajarkan suatu konsep dalam matematika, urutan pembelajarannya dibalik (zani, 2011). Artinya, sebelum menganjarkan tentang bentuk formal suatu konsep dalam matematika, atau puncak dari gunung es, siswa diberikan masalah sehari-hari yang berkaitan dan sering mereka jumpai. Selanjutnya, guru memfasilitasi siswa untuk membangun konsep melalui permasalahan tersebut. Berikut ini adalah contoh iceberg dalam pembelajaran matematika materi pengukuran sudut untuk siswa kelas 4 SD. Continue reading

Categories: All PMRI, Articles, Introduction to RME, Math Education, Mathematics | Tags: , , , | 4 Comments

Soal Latihan Ujian Nasional Matematika SMA (tambahan)

Berikut adalah kumpulan soal ujian nasional yang bisa didownload, sebagai tambahan postingan Download Kumpulan Soal Ujian Nasional sebelumnya yang dapat kalian jadikan bahan belajar menghadapi tryout/ ujian nasional. Kumpulan soal berikut berformat Word (dapat di edit), sehingga dapat dijadikan sebagai bahan guru untuk memberikan latihan soal. klik link di bawah ini ini untuk mendownloadnya. semoga bermanfaat.

download button2(Download kumpulan soal latihan ujian nasional matematika SMA)

Categories: Download, Math Education, Mathematics | Tags: , , , | Leave a comment

Web Based Lesson: Memahami Konsep Perkalian Pecahan secara Online

perkalian pecahanDapatkah kalian menentukan solusi dari permasalahan pada ilustrasi gambar di atas? Nah, untuk dapat menyelesaikannya kali ini kita akan belajar tentang konsep perkalian pecahan dengan pecahan melalui media web dengan menggunakan applet fraction-rectangle multiplication. Applet tersebut merupakan aplikasi yang dapat kalian gunakan untuk memahami konsep perkalian pecahan dengan pecahan melalui pendekatan luas persegipanjang. Untuk memulai belajar memahami perkalian pecahan dengan pecahan, ikuti dan lakukan kegiatan 1 dan 2 berikut ini.

Kegiatan 1 : memahami konsep perkalian pecahan dengan pecahan

Masalah
Pak Slamet mempunyai sebidang tanah yang berbentuk persegipanjang. Dia berencana menjadikan sepertiga dari tanahnya untuk lahan perkebunan. Dia menginginkan seperempat dari perkebunannya tersebut ditanami pohon mangga. Tentukan:

  1. Berapa bagiankah dari tanah pak Slamet yang ditanami pohon mangga?
  2. Jika luas tanah pak Slamet adalah 1000 m2 berapakah luas lahan yang ditanami pohon mangga?

tanah pak slamet
 Tanah Pak Slamet

sebagai alat bantu kalian untuk dapat menyelesaikan masalah di atas, kalian dapat menggunakan applet fraction-rectangle multiplication yang dapat kalia akses pada website National Library of Virtual Manipulatives (NLVM) di http://nlvm.usu.edu/en/nav/category_g_2_t_1.html atau akses langsung pada applet yang dimaksud secara langsung dengan cara klik link di bawah ini.

tampilan applet 1

(masuk ke web applet fraction-rectangle multiplication)

Sebelumnya, ikuti petunjuk dan kerjakan soal pada Lembar Kerja (worksheet) di bawah ini untuk memahami konsep perkalian pecahan dengan menggunakan applet fraction-rectangle multiplication secara mandiri (yang juga dapat kalian download). Continue reading

Categories: All PMRI, Articles, ICT Math, Math Education, Mathematics, Web Based Lesson | Tags: , , , | Leave a comment